В виду независимости присущих линейным системам свойств от внешних воздействий и наличия связи (1) между последними, подобное же отношение существует и для соответствующих типовых реакций:
h(t) = т w(t) dt и w(t) = h'(t).
Докажем эту взаимосвязь подав на систему грубую реализацию дельта-функции (2). В этом случае переходный процесс на выходе можно представить следующей суперпозицией:
y(t) = N h(t) - N
h(t-e),
которая будет являться функцией веса, предел которой (при
e ® 0) будет равен производной от переходной функции:
w(t) = lime®0( e N (h(t) - h(t-e)) / e ) = h'(t), - напомним: N
e = 1.
Функция веса связана с передаточной функцией преобразованием Лапласа:
W(s) = oҐ т w(t) e -st dt.
Переходная функция связана с передаточной функцией преобразованием Карсона:
W(s) = s oҐ т h(t) e -st dt.
Для произвольного входного воздействия, переходный процесс на выходе линейной системы может быть определен на основании интеграла Дюамеля-Карсона, если известны типовые реакции:
h(t): y(t) = x(0) h(t) + ot т x'(t) h(t-t) dt;
w(t): y(t) = ot т
x(t) w(t-t) dt, - так же "Интеграл свертки";
где: t - вспомогательное время интегрирования.