Теория систем автоматического регулирования



         

Логарифмические ЧХ - ЛАЧХ & ЛФЧХ


Построение ЛАЧХ & ЛФЧХ производится по выражениям:

L(w) = 20 lg |W(jw)| = 20 lg A(w),  [дБ];   

j(w) = arg(W(jw)),  [рад].

Числитель и знаменатель ПФ САР могут быть представлены либо в виде отношения полиномов:

,

либо в виде отношения их разложений на элементарные множители:

(1)

Передаточная функция линейной системы, записанная в наиболее обобщающем виде

Постановка s¬jw

позволяет перейти в частотный домен. При наличии ЭВМ построение ЛАЧХ & ЛФЧХ не составит труда  в любом случае. Однако разложенная на множители ПФ (1) позволяет построить асимптотические ЛАЧХ & ЛФЧХ практически без вычислительной работы. Каждый линейный множитель ее числителя и знаменателя есть комплексное число. Найдем модуль каждого (как гипотенузу прямоугольного треугольника), и перейдем к логарифмическому масштабу:

Обобщающая формула для построения ЛАЧХ

Для упрощения дальнейших построений избавимся от операции умножения, заменив ее операцией сложения в логарифмическом домене:

(2)

Обобщающая формула для построения ЛАЧХ
.

Легко понять, что каждое слагаемое выражения (2) есть либо прямая линия, либо асимптотически приближается к прямым линиям при устремлении частоты к нулю и к бесконечности. Наклон аппроксимирующих прямых всегда кратен 20 дБ за декаду.

Для построения ЛФЧХ необходимо найти фазу каждого множителя числителя и знаменателя частотной ПФ, как арктангенс отношения его противолежащего катета к прилежащему (напомним, что при произведении комплексных чисел (в экспоненциальной форме) фазы (показатели степени) складываются, а при делении - вычитаются). Таким образом, построение ЛФЧХ производится по выражению:

Обобщающая формула для построения ЛФЧХ

Отметим так же, что одному Белу соответствует увеличение мощности в 10 раз. Поскольку A - это физическая величина либо первого, либо второго рода, а не их произведение (т.е. не мощность); увеличение ее в 10 раз соответствует увеличению мощности в 100 раз, что соответствует двум Белам или 20 дБ.




Содержание  Назад  Вперед