Разностные уравнения
Аналогом ДУ для импульсной системы является уравнение в конечных разностях или разностное уравнение (РУ):
b0Сmy[n] + b1Сm-1y[n] + ... + bm y[n] = f [n],
(оно может быть составлено и в прямых разностях). Если раскрыть разности, то уравнение будет иметь вид:
(1)
a0 y[n] + a1
y[n-1] + ... + am y[n-m] = f [n],
| где: | am-k =n=0kе
(-1)m-k bn Cm-nk-n ; |
Cm-nk-n = (m-n)! / [ (k-n)! (m-k)! ] . |
РУ легко машинизируются и для их расчета можно составлять рекуррентный алгоритм.
Учтем запаздывание передаточной функцией звена чистого запаздывания и вынесем теперь уже изображение дискретной последовательности y[n]
в уравнении (1) за скобку:
(a0 + a1e-Ts
+ ... + ame-mTs) Y *[s] = F *[s],
введем обозначение z = eTs и перепишем уравнение:
(a0 + a1 z -1
+ ... + am z -m) Y [z] = F [z].
Решая для него ХУ (левая часть приравненная к нулю) можно получить "Общее решение" - т.е. переходную составляющую:
y [n] = С1 z1n
+ С2 z2n + ... + Сm zmn ,
где: z1, z2, ..., zm
- корни ХУ; а Ci - произвольные постоянные.
Вид решения ХУ определяет условие устойчивости для систем, описанных с помощью РУ:
| zi | < 1.
